초등임용 - 수학 - 기본이론

수학 교수학습 이론

스켐프의 수학 학습 이론

문제1

스켐프의 수학 학습 이론
적 이해와 적 이해

	정의	규칙이나 공식이 구성된 는 모르면서 으로 규칙이나 공식을 암기하여 문제 해결 등에 적용하는 것
	장점	- 정리하기 쉽고 빠르게 를 달성할 수 있음 - 학습결과의 보상은 보다
	정의	수학적 규칙이나 공식이 왜 그렇게 만들어졌는지에 대한 와 그 까지 깊이 있게 아는 것
	장점	- 이해한 방법을 에 할 수 있음 - 학습 내용의 기억이 됨. 지식을 잊더라도 그 형성과정을 다시 하여 상기0 - 학습 자체에 흥미와 자신감

	정의	규칙이나 공식이 구성된 는 모르면서 으로 규칙이나 공식을 암기하여 문제 해결 등에 적용하는 것
	장점	- 정리하기 쉽고 빠르게 를 달성할 수 있음 - 학습결과의 보상은 보다
	정의	수학적 규칙이나 공식이 왜 그렇게 만들어졌는지에 대한 와 그 까지 깊이 있게 아는 것
	장점	- 이해한 방법을 에 할 수 있음 - 학습 내용의 기억이 됨. 지식을 잊더라도 그 형성과정을 다시 하여 상기0 - 학습 자체에 흥미와 자신감

디에네스의 개념 학습 이론

문제2

디에네스의 개념 학습 이론
① 개관
- 된 학습 과정에서의 와 의 사용을 강조
- 수학적 구조를 구체화할 수 있는 교수 자료: 디에네스 블록(수 모형), 속성 블록
② 개념 학습 단계 ··· 수학적 개념을 가르치기 위한 구조화된 학습 단계

1: S	내용
1: S	예시
2: S	내용
2: S	예시
3: S ⓚ	내용
3: S ⓚ	예시
4: S	내용
4: S	예시
5: S	내용
5: S	예시
6: S ⓚ	내용
6: S ⓚ	예시

1: S	내용	- 을 제공하여 어떤 특별한 구조화된 방법이 아니라 그들 나름대로 자유롭게 가지고 놀 도록 허락 - 학습해야 하는 수학적 개념이 포함된 구체물을 제공
1: S	예시	삼각형을 가르칠 때 삼각형과 삼각형이 아닌 도형을 로 제시하고 자유롭게 모아 모양을 만들거나 분류해보도록 한다.
2: S	내용	- 놀이를 하는 가운데 어떤 정해진 이나 이 가해짐
2: S	예시	같은 종류의 도형을 찾는 게임을 하여 도형의 성질을 으로 알아보게 한다.
3: S ⓚ	내용	- 된 다양한 게임에서 으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조를 파악 → 어떤 을 - 적인 것을 하는 경험, 관계없는 것을 하는 경험
3: S ⓚ	예시	의 도형들이 가지고 있는 을 생각해 보도록 한다.
4: S	내용	- 나 을 파악한 후, 그것을 다양하게 표현하는 단계 - 간단한 그림, 말이나 글, 그래프, 모형, 다른 등
4: S	예시	의 도형들이 으로 가지고 있는 성질을 으로 표현하여 을 지도한다.
5: S	내용	- 스스로 선택한 표현 방법을 ()와 결부시킴 → 보다 높은
5: S	예시	꼭짓점, 변, 삼각형을 로 표현하여 다룬다.
6: S ⓚ	내용	- 개념의 여러 가지 성질을 - 개념의 기본적인 성질()로부터 다른 성질()에 이르는 규칙을 찾음()
6: S ⓚ	예시	임의의 삼각형과 특수한 삼각형의 성질을 하여 다룬다. (삼각형 세 각의 합은 180° → 둔각삼각형은 한 각만 둔각)

문제3

③ 개념 학습 원리

	을 구성할 수 있도록 다양한 활동이 필요
	게임을 할 때, 이 에 선행되어야 함 *: 물체를 만들거나 전체를 파악 / : 물체를 분해하거나 작은 부분을 검토, 근거 파악 ex) 패턴 블록을 이용하여 다양한 방법으로 정육각형 만들기 → 정육각형의 성질을 분석
	수학적 개념을 지도할 때 으로는 다르지만 인 다양한 제공
	해당 개념과 관련된 변수()를 고정시키고 관련이 없는 변수()는 가능한 다양하게 변화시켜 제시

	을 구성할 수 있도록 다양한 활동이 필요
	게임을 할 때, 이 에 선행되어야 함 *: 물체를 만들거나 전체를 파악 / : 물체를 분해하거나 작은 부분을 검토, 근거 파악 ex) 패턴 블록을 이용하여 다양한 방법으로 정육각형 만들기 → 정육각형의 성질을 분석
	수학적 개념을 지도할 때 으로는 다르지만 인 다양한 제공
	해당 개념과 관련된 변수()를 고정시키고 관련이 없는 변수()는 가능한 다양하게 변화시켜 제시

브루너의 학습 이론

문제4

브루너의 학습 이론
① EIS 이론

	경험한 것이나 알고 있는 사실을 적절한 와 을 통해 표현하는 것 ex) 손가락을 활용한 곱셈구구
	경험한 것이나 알고 있는 사실을 이나 , 등으로 표현하는 것 ex) 수직선, 누름 못과 띠종이로 원을 그린 것
	경험한 것이나 알고 있는 사실 또는 사물의 특징 등을 를 사용해서 표현하는 것 *도형의 개념을 지도하는 것도

	경험한 것이나 알고 있는 사실을 적절한 와 을 통해 표현하는 것 ex) 손가락을 활용한 곱셈구구
	경험한 것이나 알고 있는 사실을 이나 , 등으로 표현하는 것 ex) 수직선, 누름 못과 띠종이로 원을 그린 것
	경험한 것이나 알고 있는 사실 또는 사물의 특징 등을 를 사용해서 표현하는 것 *도형의 개념을 지도하는 것도

문제5

② 수학 학습 원리

	완성된 형태의 표현을 학생들에게 제시하기보다는 그 개념이나 원리, 규칙을 학생 스스로 직접 표현해 보도록
	어떤 개념을 단독으로 학습하기보다는 다른 개념들과 하게 하고 그 개념의 다양한 예를 함께 제시함
	수학적 개념이나 원리에 대한 이 학생들의 인지 발달 수준에 맞게 이루어져야 함
	수학에서 각각의 개념, 원리, 기능은 또 다른 개념, 원리, 기능등과

	완성된 형태의 표현을 학생들에게 제시하기보다는 그 개념이나 원리, 규칙을 학생 스스로 직접 표현해 보도록
	어떤 개념을 단독으로 학습하기보다는 다른 개념들과 하게 하고 그 개념의 다양한 예를 함께 제시함
	수학적 개념이나 원리에 대한 이 학생들의 인지 발달 수준에 맞게 이루어져야 함
	수학에서 각각의 개념, 원리, 기능은 또 다른 개념, 원리, 기능등과

피아제의 인지 발달 이론과 추상화

문제6

피아제의 인지 발달 이론과 추상화
① 인지 발달 과정

		와 의 결합을 통해 단순한 인지 구조가 복잡한 인지 구조로 발달함 *: 우리가 어떤 대상이나 사건을 머릿속으로 표상하거나 생각할 수 있도록 하는 행동이나 사고의 조직화된 시스템
적응을 위한 변화		새로운 지식을 하는 로 이해하려 하는 것
		를 시키거나 를 만들어 새로운 지식을 이해하는 것
	기존 스키마와 맞지 않아 그 정보를 조절하기 위해 완전히 를 만듦.
평형화(균형화)		이나 의 상태 ↔ ()

		와 의 결합을 통해 단순한 인지 구조가 복잡한 인지 구조로 발달함 *: 우리가 어떤 대상이나 사건을 머릿속으로 표상하거나 생각할 수 있도록 하는 행동이나 사고의 조직화된 시스템
적응을 위한 변화		새로운 지식을 하는 로 이해하려 하는 것
		를 시키거나 를 만들어 새로운 지식을 이해하는 것
	기존 스키마와 맞지 않아 그 정보를 조절하기 위해 완전히 를 만듦.
평형화(균형화)		이나 의 상태 ↔ ()

문제7

② 인지 발달 단계

	- 신체적 감각을 통하여 인지구조를 변화시켜 나가는 단계.
	- 미숙하지만 생각으로 사물을 다룰 수 있는 이 발달하는 단계 - X, X
	- 논리적인 사고를 함에 있어 대상을 물리적으로 저작하는 것이 필요한 단계 - 의 원리 터득, 획득 - : 원소의 배열과 관계없이 집합 수는 불변이다. - : 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 길이는 불변이다. - : 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 넓이는 불변이다. ex) 등적변형: 도형의 모양은 변하더라도 넓이는 변하지 않는 것
	- 을 사용하지 않고도 정신의 추상적인 활동을 표현하는 단계

(0~2세)	- 신체적 감각을 통하여 인지구조를 변화시켜 나가는 단계.
(2~7세)	- 미숙하지만 생각으로 사물을 다룰 수 있는 이 발달하는 단계 - X, X
(7~12세)	- 논리적인 사고를 함에 있어 대상을 물리적으로 저작하는 것이 필요한 단계 - 의 원리 터득, 획득 - : 원소의 배열과 관계없이 집합 수는 불변이다. - : 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 길이는 불변이다. - : 이동과 분해 혹은 변형과 관계 없이 넓이는 불변이다. ex) 등적변형: 도형의 모양은 변하더라도 넓이는 변하지 않는 것
(12~)	- 을 사용하지 않고도 정신의 추상적인 활동을 표현하는 단계

문제8

③ 추상화 유형

	외부 대상이 가지는 에 대한 지식을 이끌어 내는 ex) 원반, 접시 등의 물체를 관찰하는 경험을 통해 둥글다는 을
	대상에 대한 인식 주체의 을 한 것 → 형성 ex) 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸는 조작 행동에 대해 의식함 → 받아올림의 원리에 대한 을 형성함
	의 범주에 들어가지만 없이는 이루어질 수 없는 → 형성
	- : 받아올림의 원리에 대한 을 형성하였지만 다른 문제를 해결할 때 을 활용해야만 문제를 해결 가능 - : 해결 가능

	외부 대상이 가지는 에 대한 지식을 이끌어 내는 ex) 원반, 접시 등의 물체를 관찰하는 경험을 통해 둥글다는 을
	대상에 대한 인식 주체의 을 한 것 → 형성 ex) 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸는 조작 행동에 대해 의식함 → 받아올림의 원리에 대한 을 형성함
	의 범주에 들어가지만 없이는 이루어질 수 없는 → 형성
	- : 받아올림의 원리에 대한 을 형성하였지만 다른 문제를 해결할 때 을 활용해야만 문제를 해결 가능 - : 해결 가능

반 힐레의 기하 사고 수준 이론

문제9

반 힐레의 기하 사고 수준 이론
① 반 힐레의 기하적 사고 수준


- 주변 사물을 도형의 모양이라는 측면에서 인식하고 파악하는 단계 () - 도형의 성질에는 주목하지 않음

-관찰 및 실험 등 구체적인 조작 활동을 통해 도형의 개별적인 구성 요소나 성질을 분석할 수 있는 수준 () -물건의 길이와 높이, 두께 등의 을 구분 -도형의 구성 요소나 성질을 사용하여 도형을 -도형이 갖는 개별적인 성질 나열, 도형들 사이의 나 성질 사이의 관계 모름

-여러 도형의 성질을 정렬해서 도형들을 으로 분류, 여러 도형 사이의 포함 관계를 이해 -도형의 성질을 이용하여 특정 도형을 정의. 도형의 성질을 열거하고 그중 어떤 성질이 특정한 도형을 만족하기에 한 조건인지 판단. 도형의 여러 성질 중 일부를 도형의 정의로 채택하고, 나머지 성질은 논리적 방법으로 정리 -: 도형의 특정한 성질을 이미 알고 있는 다른 도형의 성질을 이용해서 간단히 증명.

- 명제가 연구의 대상이 되어 명제들 간의 논리적 관계를 파악하는 이 가능

- 모델을 참고하지 않고 기하를 연구할 수 있으며, , , 등의 문장을 형식적으로 다룸으로써 다양한 공리체계를 이해할 수 있음

제1수준: (또는 )
- 주변 사물을 도형의 모양이라는 측면에서 인식하고 파악하는 단계 () - 도형의 성질에는 주목하지 않음
제2수준:
-관찰 및 실험 등 구체적인 조작 활동을 통해 도형의 개별적인 구성 요소나 성질을 분석할 수 있는 수준 () -물건의 길이와 높이, 두께 등의 을 구분 -도형의 구성 요소나 성질을 사용하여 도형을 -도형이 갖는 개별적인 성질 나열, 도형들 사이의 나 성질 사이의 관계 모름
제3수준:
-여러 도형의 성질을 정렬해서 도형들을 으로 분류, 여러 도형 사이의 포함 관계를 이해 -도형의 성질을 이용하여 특정 도형을 정의. 도형의 성질을 열거하고 그중 어떤 성질이 특정한 도형을 만족하기에 한 조건인지 판단. 도형의 여러 성질 중 일부를 도형의 정의로 채택하고, 나머지 성질은 논리적 방법으로 정리 -: 도형의 특정한 성질을 이미 알고 있는 다른 도형의 성질을 이용해서 간단히 증명.
제4수준:
- 명제가 연구의 대상이 되어 명제들 간의 논리적 관계를 파악하는 이 가능
제5수준:
- 모델을 참고하지 않고 기하를 연구할 수 있으며, , , 등의 문장을 형식적으로 다룸으로써 다양한 공리체계를 이해할 수 있음

문제10

*기하 사고 수준 이론의 특징
- 수학적 사고는 모든 수준을 순차적으로 거쳐서 발달
- 개인차0, 수준의 이행은 적절한 학습 지도에 의해 촉진될 수 있음
- 이전 수준에서 사고의 수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 대상이 됨
- 수준의 상승은 언어의 확장과 관계 0
- 서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람(교사, 학생)은 서로를 이해할 수 없음

	제1수준	제2수준	제3수준	제4수준	제5수준
사고의 대상
사고의 수단

	제1수준	제2수준	제3수준	제4수준	제5수준
사고의 대상
사고의 수단